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《2.3.2抛物线的几何性质》课件1-优质公开课-人教B版选修1-1精品

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2.3.2 抛物线的几何性质 一、复*回顾: 前面我们已学过椭圆与双曲线 的几何性质,它们都是通过标准 方程的形式研究的,现在请大家 想想抛物线的标准方程、图形、 焦点及准线是什么? 图 形 y l O F x l O 方 程 焦 点 准 线 y2 = 2px (p>0) y2 = -2px p F ( ,0 ) 2 p F ( ? ,0) 2 p F (0, ) 2 p F (0,? ) 2 y F x (p>0) x2 = 2py (p>0) x2 = -2py y O F x l y O F l x (p>0) p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2 练*:填空(顶点在原点,焦点在坐标轴上) 方程 焦点 准线 开口方向 3 2 y ? 6x 2 F ( ,0 ) 3 2 x?? 开口向右 开口向左 y ? ?4 x 2 F (?1,0) x ?1 y ? ?1 x ? 4y 2 F ( 0 ,1) 7 8 开口向上 开口向下 2x ? 7 y ? 0 F ( 0 , ? ) 2 y? 7 8 一、抛物线的几何性质 1、范围 y P ( x , y) 由抛物线y2 =2px(p>0) 而 o F( 2 px ? y ? 0 p?0 2 p ,0 ) 2 x 所以抛物线的范围为 x ? 0 抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱ 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸. x?0 ? 2、对称性 ? ( x, y) 关于x轴 对称 ( x, ? y ) y P ( x , y) 由于点 ( x, ? y ) 也满 o 足 y2 = 2px,故抛物线 y2 = 2px F( p ,0 ) 2 x (p>0)关于x轴对称. 3、顶点 定义:抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点. 由y2 = 2px (p>0)当 y=0时,x=0, 因此 抛物线的顶点就是 坐标原点(0,0). y P ( x , y) o F( p ,0 ) 2 x 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同. 4、离心率 y P ( x , y) 抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比,叫做抛物线 的离心率,由抛物线的 定义,可知e=1. o p F ( ,0 ) 2 x 下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质. 开口方向 y P ( x , y) 抛物线y2 =2px(p>0)的开口 方向向右. y ? 2 px 2 2 +x,x轴正半轴,向右 -x,x轴负半轴,向左 +y,y轴正半轴,向上 -y,y轴负半轴,向下 o F( p ,0 ) 2 x y ? ?2 px x ? 2 py 2 2 x ? ?2 py 特点: 1.抛物线只位于半个坐标*面内,虽然它可以 y2=4x 无限延伸,但它没有渐*线; y2=2x y 2=x y 2.抛物线只有一条对称轴,没有2 1 y = x 4 3 2 1 P ( x , y) 对称中心; -2 2 2 4 6 8 10 -1 3.抛物线只有一个顶点、 -3 -4 -2 o F( p ,0 ) 2 x 一个焦点、一条准线; -5 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. (二)归纳:抛物线的几何性质 图 形 y l O F 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 x≥0 y∈ R x≤0 x轴 e y2 = 2px p p F ( , 0 ) x ? ? x (p>0) 2 2 l y F O y2 = -2px p p x ? F ( ? ,0) ( p >0 ) x 2 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2 y∈ R y≥0 x∈R y轴 y ≤0 ( 0, 0) 1 y O F l y O F = -2pyF (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 l x∈R (三)、例题讲解: 例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐 标原点且开口向右,抛物线经过点P(4, 2 3 ), 求它的标准方程,并用描点法画出图形. 解:根据已知条件,可设抛物线的方程为 y ? 2 px ( p ? 0). 2 又因为点P在抛物线上: 所以:(2 3) ? 2 p ? 4, 得 2p=3. 2 因此所求方程为:y ? 3 x . 2 将抛物线方程变形为 y ? ? 3 x , 根据 y ? ? 3 x 求出抛物线在x≥0的范围内的几个点的坐标,得 x y 0 0 0.75 1. 5 1 2 3 3 … … 1. 7 2. 4 描点连线画出抛物线在x轴上方 的一部分;再利用对称性,画 出抛物线在x轴下方的另一部分. 如图所示. (三)、例题讲解: 例2 如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛 物线的一部分,灯所在的圆面与反射镜的轴垂直, 灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口直径是24cm, 灯深10cm,那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少? 解:取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因为灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为 y ? 2 px ( p ? 0). 2 由点A (10,12)在抛物线上,得 12 ? 2 p ? 10, 2 所以p ? 7.2, 抛物线的焦点F为(3.6,0). 所以灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm. (三)、例题讲解: 变式题:求并顶点在坐标原点,对称轴 ?2 2 ), 为坐标轴,并且经过点M(2, 抛物线的标准方程.


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