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河北省武邑中学高中数学 §2.4.1*面向量的数量积的物理背景及其含义教案 新人教A版必修4

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河北省武邑中学高中数学 §2.4.1 *面向量的数量积的物理背景及其 含义教案 新人教 A 版必修 4

备课人

授课时间

课题

§2.4.1 *面向量的数量积的物理背景及其含义

课标要求 掌握*面向量数量积的重要性质及运算律



知识目标

掌握*面向量的数量积及其几何意义及向量垂直的条件.

学 目

技能目标

用*面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题



情感态度价值观 培养细心严谨的学*态度

重点 *面向量的数量积定义

难点 *面向量数量积的定义及运算律的理解和*面向量数量积的应用

问题与情境及教师活动

学生活动

一、复*引入:

1. 向量共线定理

向量

b

与非零向量

a共线的充要条件是:有

且只有一个非零实数λ,使

b



a.

教 2.*面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一*面内的两个不共线

向量,那么对于这一*面内的任一向量 a,有且只有一对实数λ1,



λ2 使 a=λ1 e1 +λ2 e2



3.*面向量的坐标运算

程 若 a (x1, y1 ) , b (x2 , y2 ) ,则 a b (x1 x2 , y1 y2 ) ,



a b (x1 x2 , y1 y2 ) , a (x, y) .

若 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则 AB x2 x1, y2 y1



4. 力做的功:W = |F||s|cos,是 F 与



s 的夹角.

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB= θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明:(1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向;

1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案
问题与情境及教师活动
(3)当 θ= 时,a与b垂直,记a⊥b; 2
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0≤≤180

学生活动

C

2.*面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们
的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作 ab,即有 ab = |a||b|cos,(0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 教 探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

学 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos的符号所 决定.

过 (2)两个向量的数量积称为内积,写成 ab;今后要学到两个向量的外
积 a×b,而 ab 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ” 程 在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.



(3)在实数中,若 a0,且 ab=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a0, 且 ab=0,不能推出 b=0.因为其中 cos有可能为 0.

方 (4)已知实数 a、b、c(b0),则 ab=bc a=c. 但是 ab = bc a = c



如右图:ab = |a||b|cos = |b||OA|,bc =

|b||c|cos = |b||OA|

ab = bc 但 a c

(5)在实数中,有(ab)c = a(bc),但是(ab)c a(bc)

显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线.

3.向量数量积的运算律

4.“投影”的概念:作图

. 2

河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动
定义:|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时 投影为负值;当为直角时投影为 0;当 = 0时投影为 |b|;当 = 180 时投影为 |b|.
4.向量的数量积的几何意义:
数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积.
5.两个向量的数量积的性质:
设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 教 1 ea = ae =|a|cos 学 2 ab ab = 0
3 当 a 与 b 同向时,ab = |a||b|;当 a 与 b 反向时,ab = |a||b|. 过 特别的 aa = |a|2 或| a | a a
程 4 cos = a b | a || b |
及 5 |ab| ≤ |a||b|
方 三、讲解范例:课本 104 页例 1 105 页例 2 例 3 例 4

学生活动

法 例 5 判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = BA ;④|a·b|=| a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b= 0,则a与b中至少有一个为 0;⑦对任意向量a,b,с 都有(a·b) с=a(b·с);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.
解:上述 8 个命题中只有③⑧正确;
评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运 算律.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
教 学 小 结

课 后 反 思

3



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