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数学PPT课件之高中数学(人教版)高中数学选修1-1课件:第1章 常用逻辑用语1.1.1_图文


数学 选修1-1

第一章 常用逻辑用语

自主学习 新知突破

合作探究 课堂互动

高效测评 知能提升

数学PPT课件之高中数学(人教版)高中数学选修1-1课件:第1章 常用逻辑用语1.1.1

第一 章

常用逻辑用语

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1.1 命题及其关系
1.1.1 命题

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1.了解命题的概念. 2.会将一些简单的命题改写为“若p,则q”的形式. 3.会判断一些简单命题的真假.

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观察下列语句的特点: ①求证: 2是无理数;②x2-2x+3≥0; ③你是高二的学生吗?④x≤3; ⑤今天天气真好啊!⑥请把电脑打开; ⑦7 能被 2 整除;⑧若 x=-3,则 x2=9.

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[问题1] 哪几个语句是陈述句? [提示1] ②⑦⑧ [问题2] 哪几个语句判断为真? [提示2] ②⑧ [问题3] 哪几个语句判断为假? [提示3] ⑦

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命题的概念

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判断一个语句是不是命题的依据 (1)并不是任何语句都是命题.要判断一个句子是否为命 题,关键在于能否判断真假.一般地,疑问句、祈使句、感叹 句都不是命题. (2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是命题.

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命题的结构

一般地,每一个命题都可以写成“若p,则q”的形式,其 中命题中的p叫做命题的__条__件__,q叫做命题的__结__论__,也就是 说,命题由__条__件___和__结__论__两部分组成.

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对命题的结构形式的理解 任何一个命题都有条件和结论,尽管有些命题的条件不明 显,但都可以写成“若p,则q”的形式.

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1.下列语句不是命题的是( )

A.0不是自然数

B.5>2

C.对顶角相等吗? D.地球是太阳的一个行星

解析: A,B,D中语句都是命题,C中语句不是陈述

句,故不是命题.

答案: C

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2.若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题是真命题

的是( )

A.a2>ab>b2

B.ac2<bc2

C.1a<1b

D.ba>ab

解析: 对于选项 A:

因为 a<b<0,所以 a<0,b<0, 所以 a2>ab,ab>b2,所以 a2>ab>b2.

对于选项 B:因为 c∈R,所以 c2≥0.

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当 c=0 时,ac2=bc2;当 c≠0 时,ac2<bc2. 对于选项 C:因为 a<b<0, 所以 ab>0,所以 aa1b<ba1b,所以1b<1a. 对于选项 D:因为 a<b<0, 所以1b<1a<0,所以ba<ab. 答案: A

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3.下列语句中是命题的有________. ①“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?”;②“一 个数不是正数就是负数”;③“大角所对的边大于小角所对的 边”;④“x+y为有理数,则x,y也都是有理数”.

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解析: 先根据命题的概念,判断所给语句是不是陈述句, 若是,再判断真假.
①疑问句.没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出 判断,不是命题;②是假命题.0 既不是正数也不是负数;③是假 命题.没有指明是在同一个三角形中;④是假命题.如 x= 3, y=- 3.
答案: ②③④

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4.判断下列命题的真假. (1)形如 a+ 6b 的数是无理数; (2)正项等差数列的公差大于零; (3)函数 y=1x的图象关于原点对称; (4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除.

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解析: (1)假命题.反例:当 a=2,b=0 时,a+ 6b 为有 理数;
(2) 假 命 题 . 反 例 : 若 此 数 列 为 递 减 数 列 , 如 数 列 20,17,14,11,8,5,2,它的公差是-3;
(3)真命题.y=1x是奇函数,所以其图象关于(0,0)对称; (4)假命题.反例:2,6 能被 2 整除,但不能被 4 整除.

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命题的判断
判断下列语句是不是命题,并说明理由. (1)一个实数不是正数就是负数; (2)这是一条大河; (3)今年北方还有大雪吗? (4)作△ABC≌△A′B′C′; (5)0是集合{0,1,2,3}的元素.

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[思路点拨] 判断一个语句是不是命题,就是看它是否符 合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.
解析:

题号 (1)
(2)
(3) (4) (5)

是否为命题

原因分析

是命题 是陈述句,并且可以判断真假

不是命题

虽是陈述句,但无法判断其真假,故不是 命题

不是命题 是疑问句,不是陈述句,因此不是命题

不是命题 是祈使句,不是陈述句,因此不是命题

是命题 是陈述句,并且可以判断真假

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判断一个语句是不是命题,首先观察其句型 是否为陈述句,其次看它是否能判断真假.

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1.判断下列语句是否为命题,并说明理由. (1)风景这边独好. (2)让我们尽情享受寒假吧! (3)函数f(x)=x3是R上的奇函数. (4)火星上有水.

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解析: (1)是陈述句,但不能判断真假,故不是命题. (2)是祈使句,故不是命题. (3)(4)是陈述句,能判断真假,是命题. 答案: (3)(4)

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命题真假的判断
判断下列命题的真假: (1)一个数的算术平方根一定是正数; (2)若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行; (3)若G2=ab,则a,G,b成等比数列; (4)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根; (5)平行四边形的对角线互相平分.
[思路点拨] 语句 能―否―判―断―真→假 命题 ―→ 真假判断

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(1)是假命题.因为一个数的算术平方根为 非负数.
(2)是假命题.直线l与平面α可以相交. (3)是假命题.原因是当G=a=0时,a,G,b不是等比数 列. (4) 是 假 命 题 . 当 a = 0 时 , 方 程 ax2 + 2x - 1 = 0 有 一 个 实 根. (5)是真命题.若一个四边形是平行四边形,则它的对角线 互相平分.

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命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件,结合正确的 逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的 关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法. (2)假命题的判定方法 通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题 为假命题的常用方法. 另外,一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.

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2.给出下列几个命题: (1)若x,y互为相反数,则x+y=0; (2)若a>b,则a2>b2; (3)若x>-3,则x2+x-6≤0; (4)若a,b是无理数,则ab也是无理数. 其中的真命题有________个.

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解析: (1)是真命题.(2)设 a=1>b=-2,但 a2<b2,假命 题.(3)设 x=4>-3,但 x2+x-6=14>0,假命题.(4)设 a=( 2) 2, b= 2,则 ab=( 2)2=2 是有理数,假命题.
答案: 1

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改写命题的结构形式
把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真 假.
(1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形; (4)当ac>bc时,a>b.

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[思路点拨] 本题所给的命题都不具备“若p,则q”的形 式,解决这类题型既要找准命题的条件和结论,还要注意表述 的完整性.

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(1) 原 命 题 可 以 写 成 : 若 一 个 数 是 实 数 , 则

它的平方是非负数.

2分

这个命题是真命题.

3分

(2)原命题可以写成:若两个三角形等底等高,则这两个三

角形是全等三角形.

5分

这个命题是假命题.

6分

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(3)命题“对角线相等的平行四边形是矩形”,即“若一个

平行四边形的对角线相等,则该平行四边形是矩形”.条件

p:一个平行四边形的对角线相等,结论q:该平行四边形是矩

形.

8分

真命题.

9分

(4)若ac>bc,则a>b,假命题.

12分

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将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原 则

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3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的 真假:
(1)奇数不能被2整除; (2)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1; (3)两个相似三角形是全等三角形; (4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行.

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解析: (1)若一个数是奇数,则它不能被2整除,是真命 题;
(2)若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是真命题; (3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三 角形,是假命题. (4)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直 线平行,是假命题.

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判断下列命题的真假: (1)若 a>b,则1a<1b; (2)x=1 是方程(x-1)(x-2)=0 的根. 【错解】 (1)真命题;(2)假命题.

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【错因】 (1)的易错点是认为“大的倒数反而小”,所以命 题为真,忽视了 a,b 可以是任意实数,
当 ab>0,即a1b>0 时,1a<1b; 当 ab<0,即a1b<0 时,1a>1b; 当 a=0 或 b=0 时,1a或1b无意义. (2)的易错点是方程的两根是 x=1 或 x=2,故命题为真. 【正解】 (1)假命题;(2)真命题.

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