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2019年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业十八3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数理

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2019 年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业十八 3.1 任意

角和蝗制及任意角的三角函数理

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)

1.给出下列命题:

①第二象限角大于第一象限角;

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;

④若 sin α =sin β ,则 α 与 β 的终边相同;

⑤若 cos θ <0,则 θ 是第二或第三象限的角.

其中正确命题的个数是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选 A.第二象限角不一定大于第一象限角,如 361°是第一象限角,100°是第二象限角,而

361°>100°,故①错误;三角形内角可以是直角,直角既不是第一象限角也不是第二象限角,故②错误;角

的大小只与旋转量与旋转方向有关,而与扇形半径大小无关,故③正确;若 sin α =sin β ,则 α 与 β 的终

边有可能相同,也有可能关于 y 轴对称,故④错误;若 cos θ <0,则 θ 不一定是第二或第三象限角,θ 的终

边有可能落在 x 轴的非正半轴上,故⑤错误.

2.某人从家步行到学校,一般需要 10 分钟,则 10 分钟时间钟表的分针走过的角度是 ( )

A.30°

B.-30°

C.60°

D.-60°

【解析】选 D.因为分针是按顺时针方向旋转的,故分针走过的角是负角,又分针旋转了 10 分钟,故分针走过

的角是-60°.

【误区警示】解答易出现选 C 的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了分针的旋转方向.

3.(xx·福州模拟)已知 α 的终边与单位圆的交点 P,

则 tan α = ( )

A.

B.±

C.

D.±

【解析】选 B.由题意得|OP|=1,即 x2+=1,故 x=±,因此 tan α =

=±.

4.已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 ( )

A.2

B.4

C.6

D.8

【解析】选 C.设扇形的半径为 r,弧长为 l,则由扇形面积公式可得 2=lr=r2α =r2×4,求得 r=1,l=α r=4,

所以所求扇形的周长为 2r+l=6.

5.已知角 α =2kπ -(k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y=++的值为 ( )

A.1

B.-1

C.3

D.-3

【解析】选 B.因为 α =2kπ -(k∈Z)是第四象限角,所以 θ 也是第四象限角,故 sin θ <0,cos θ >0,tan θ <0,

因此 y=++=-1.

6.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标

为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 A.由题意知点 Q 为角的终边与单位圆的交点,故 Q 点的坐标为,即.

7.已知 sin α >sin β ,那么下列命题成立的是 ( )

A.若 α ,β 是第一象限的角,则 cos α >cos β

B.若 α ,β 是第二象限的角,则 tan α >tan β

C.若 α ,β 是第三象限的角,则 cos α >cos β

D.若 α ,β 是第四象限的角,则 tan α >tan β

【解题指南】借助单位圆中的三角函数线去判断.

【解析】选 D.由三角函数线可知选 D.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.-2 017°角是第________象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是________,最大负角是 ________. 【解析】因为-2 017°=-6×360°+143°, 所以-2 017°角的终边与 143°角的终边相同. 所以-2 017°角是第二象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是 143°.又 143°-360°=-217°, 故与-2 017°角终边相同的最大负角是-217°. 答案:二 143° -217° 9.一扇形的圆心角为 60°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________. 【解析】设扇形的半径为 R,内切圆半径为 r,

则α =60°=π ,R=3r, 故=

=

=.

答案: 10.(xx·武汉模拟)已知角 α 的顶点在原点,始边在 x 轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点 A(m,m), 则 sin 2α =________.

【解析】由题意得|OA|2=m2+3m2=1,故 m2=. 由任意角三角函数定义知 cos α =m,sin α =m,由此 sin2α =2sin α cos α =2m2=. 答案: 【变式备选】(xx·鄂州模拟)已知 tan θ <0,且角 θ 终边上一点为(-1,y),且 cos θ =-,则 y=________.

【解析】因为 cos θ =-<0,tan θ <0,所以θ 为第二象限角,则 y>0.所以由 答案:

=-,得 y=.

1.(5 分)若 α =k·360°+θ ,β =m·360°-θ (k,m∈Z),则角 α 与 β 的终边的位置关系是 ( )

A.重合

B.关于原点对称

C.关于 x 轴对称

D.关于 y 轴对称

【解析】选 C.因为 α 与 θ 的终边相同,β 与-θ 的终边相同,且 θ 与-θ 的终边关于 x 轴对称,故 α 与

β 的终边关于 x 轴对称.

2.(5 分)已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.

【解析】因为 S=α ·r2,即=×r2,所以 r=2.因此弧长为 l=α ·r=×2=.

答案:

3.(5 分)(xx·郑州模拟)函数 y=lg(2sin x-1)+的定义域为________.

【解题指南】依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数线,找到边界角,从而求出各不等式的取值范

围,最后求交集即可.

【解析】要使原函数有意义,必须有:



如图,在单位圆中作出相应三角函数线,

由图可知,原函数的定义域为

(k∈Z).

答案:

(k∈Z)

4.(12 分)已知 sin α <0,tan α >0. (1)求角 α 的集合.

(2)求终边所在的象限.

(3)试判断 tan sin cos 的符号.

【解析】(1)因为 sin α <0 且 tan α >0,所以α 是第三象限角,故角α 的集合为{α |2kπ +π <α <2kπ +,k ∈Z}. (2)由(1)知 2kπ +π <α <2kπ +,k∈Z, 故 kπ +<<kπ +,k∈Z, 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ +<<2nπ +,n∈Z,即是第二象限角. 当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ +<<2nπ +π ,n∈Z,即是第四象限角, 综上,的终边在第二或第四象限. (3)当是第二象限角时, tan <0,sin >0,cos <0, 故 tan sin cos >0, 当是第四象限角时, tan <0,sin <0,cos >0, 故 tan sin cos >0, 综上,tan sin cos 取正号. 5.(13 分)已知=-,且 lg cos α 有意义.
(1)试判断角 α 所在的象限. (2)若角 α 的终边上一点是 M,且|OM|=1(O 为坐标原点),求 m 的值及 sin α 的值. 【解析】(1)由=-可知, sin α <0, 所以α 是第三或第四象限角或终边在 y 轴的非正半轴上的角. 由 lg cos α 有意义可知 cos α >0, 所以α 是第一或第四象限角或终边在 x 轴的非负半轴上的角. 综上可知角α 是第四象限角. (2)因为|OM|=1, 所以+m2=1,解得 m=±. 又α 是第四象限角,故 m<0,从而 m=-. 由正弦函数的定义可知

sin α ===

=-.

【误区警示】解答本题容易忽视根据角 α 终边的位置,判定 m 的符号,导致产生增解.

2019 年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直 线的方程夯基提能作业本文
1.直线 l:xsin 30°+ycos 150°+1=0 的斜率是( ) A. B. C.- D.2.已知直线 l 过点(1,0),且倾斜角为直线 l0:x-2y-2=0 的倾斜角的 2 倍,则直线 l 的方程为( ) A.4x-3y-3=0 B.3x-4y-3=0

C.3x-4y-4=0 D.4x-3y-4=0

3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( )

A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1

4.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( )

A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0

5.(xx 北京顺义一模)已知点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( )

A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0

C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0

6.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

.

7.已知△ABC 的三个顶点分别为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:

(1)BC 边所在直线的方程;

(2)BC 边的中线 AD 所在直线的方程;

(3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

8.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°角和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、 B 两点,当线段 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=x 上时,求直线 AB 的方程.

B 组 提升题组

9.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 过定点 ( )

A.(1,-3) B.(4,3)

C.(3,1) D.(2,3)

10.(xx 北京东城二模)已知 A,B 为圆 x2+(y-1)2=4 上关于点 P(1,2)对称的两点,则直线 AB 的方程为( )

A.x+y-3=0 B.x-y+3=0

C.x+3y-7=0 D.3x-y-1=0

11.已知经过点 A(-2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1 与经过点 P(0,-1)和点 Q(a,-2a)的直线 l2 互相垂直,则实

数 a 的值为

.

12.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12,则直线 l 的方

程为 .

13.已知 l1,l2 是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当 l1,l2 间的距离最大时,则直线 l1 的方

程是

.

14.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A,B 两点.

(1)当|PA|·|PB|最小时,求 l 的方程;

(2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程.

答案精解精析 A 组 基础题组 1.A 设直线 l 的斜率为 k,则 k=-=. 2.D 由题意可设直线 l0,l 的倾斜角分别为 α ,2α ,因为直线 l0:x-2y-2=0 的斜率为,则 tan α =,所以直 线 l 的斜率 k=tan 2α ===,所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y-0=(x-1),即 4x-3y-4=0. 3.D 由题意可知 a≠0.当 x=0 时,y=a+2. 当 y=0 时,x=. ∴=a+2,解得 a=-2 或 a=1. 4.A 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为 y=-x-.易知-<0 且 ->0,故 ab>0,bc<0. 5.A 设圆心为 O.∵点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点, ∴直线 AB 与直线 PO 垂直. ∴kAB·kPO=-1,∵kPO==-1, ∴kAB=1. ∵点 P(2,-1)在直线 AB 上, ∴直线 AB 的方程为 y+1=1×(x-2), 即 x-y-3=0. 6.答案 4x+3y=0 或 x+y+1=0 解析 ①若直线过原点,则 k=-, 所以 y=-x,即 4x+3y=0. ②若直线不过原点,设+=1, 即 x+y=a. 则 a=3+(-4)=-1, 所以直线的方程为 x+y+1=0. 综上,直线的方程为 4x+3y=0 或 x+y+1=0. 7.解析 (1)直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得直线 BC 的方程为=,即 x+2y-4=0. (2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(m,n), 则 m==0,n==2. BC 边的中线 AD 所在直线过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线方程为+=1,即 2x-3y+6=0.

(3)由(1)知,直线 BC 的斜率 k1=-, 则 BC 边的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2. 由(2)知,点 D 的坐标为(0,2). 由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0. 8.解析 由题意可得 kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-, 所以射线 OA:y=x(x≥0), 射线 OB:y=-x(x≥0). 设 A(m,m),B(-n,n), 则线段 AB 的中点 C 的坐标为, 由点 C 在直线 y=x 上,且 A、P、B 三点共线得
解得 m=, 所以 A(,). 又 P(1,0),所以 kAB=kAP==, 所以 lAB:y=(x-1), 即直线 AB 的方程为(3+)x-2y-3-=0.
B 组 提升题组 9.C 2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1),故选 C. 10.A 设圆心为 C,则 C(0,1). 由题意得,CP 所在直线为线段 AB 的垂直平分线. 易知 CP 的斜率为 1, ∴直线 AB 的斜率为-1,又 AB 过点 P, ∴直线 AB 的方程为 y-2=-1×(x-1), 即 x+y-3=0.

11.答案 1 或 0 解析 l1 的斜率 k1==a. 当 a≠0 时,l2 的斜率 k2==. 因为 l1⊥l2, 所以 k1k2=-1,即 a·=-1, 解得 a=1; 当 a=0 时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线 l2 为 y 轴,A(-2,0),B(1,0),直线 l1 为 x 轴,显然 l1⊥l2. 综上可知,实数 a 的值为 1 或 0. 12.答案 2x+3y-12=0 解析 解法一:设直线 l 的方程为+=1(a>0,b>0), 则有+=1,且 ab=12. 解得 a=6,b=4. 所以所求直线 l 的方程为+=1, 即 2x+3y-12=0. 解法二:设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k<0), 令 x=0,得 y=2-3k,则 2-3k>0; 令 y=0,得 x=3-,则 3->0. 所以 S△OAB=(2-3k)=12,解得 k=-. 故所求直线 l 的方程为 y-2=-(x-3),即 2x+3y-12=0. 13.答案 x+2y-3=0 解析 当直线 AB 与 l1,l2 垂直时,l1,l2 间的距离最大.因为 A(1,1),B(0,-1),所以 kAB==2,所以两平行直线 的斜率为 k=-,所以直线 l1 的方程是 y-1=-(x-1),即 x+2y-3=0. 14.解析 依题意知 l 的斜率存在,且斜率为负. 设 l 的方程为 y-4=k(x-1)(k<0). 令 y=0,可得 x=1-,则 A, 令 x=0,可得 y=4-k,则 B(0,4-k). (1)|PA|·|PB|=· =-(1+k2)=-4≥8(k<0), 当且仅当=k,即 k=-1 时,|PA|·|PB|取最小值, 这时 l 的方程为 x+y-5=0.

(2)|OA|+|OB|=+(4-k)=5-≥9(k<0), 当且仅当 k=,即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值,这时 l 的方程为 2x+y-6=0.



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