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山东诸城桃林初中华师大初中数学竞赛辅导讲义及解答 第27讲 动态几何问题透视(答案)$824543_图文


第二十七讲 动态几何问题透视 春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的 本质特征只有在运动中方能凸现出来. 动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是:点在线 段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是: 1.动中觅静 这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性. 2.动静互化 “静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般情形转化 为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系. 3.以动制动 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关 系. 注:几何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用几何动态的观点,可以把表面看来不同的定理 统一起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法;更一般情况是,对于一个数学问题,努力去发 掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常说的“动态思维”. 【例题求解】 【例 1】 如图,把直角△ABC 的斜边 AB 放在定直线上,按顺时针方向在 l 上转动两次,使它转到 A″B″C″ 的位置,设 BC=1,AC= 3 ,则顶点 A 运动到点 A″的位置时,点 A 经过的路线与直线 l 所围成的面积 是 . 思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔ ABC 的两次转动,顶点 A 所经过 的路线是两段 圆弧,其中圆心角分别为 120°和 90°,半径分别为 2 和 3 ,但该路线与直线 l 所围成的面积不只是两个扇 形面积之和. 1 【例 2】如图,在⊙O 中,P 是直径 AB 上一动点,在 AB 同侧作 AA′⊥AB,BB′⊥AB,且 AA′=AP,BB′=BP, 连结 A′B′,当点 P 从点 A 移到点 B 时,A′B′的中点的位置( ) A.在平⌒分 AB 的某直线上移动 C.在 AmB 上移动 B.在垂直 AB 的某直线上移动 D.保持固定不移动 思路点拨 画图、操作、实验,从中发现规律. 【例 3】 如图,菱形 OABC 的长为 4 厘米,∠AOC=60°,动点 P 从 O 出发,以每秒 1 厘米的速度沿 O→ A→B 路线运动,点 P 出发 2 秒后,动点 Q 从 O 出发,在 OA 上以每秒 1 厘米的速度,在 AB 上以每秒 2 厘 米的速度沿 O→A→B 路线运动,过 P、Q 两点分别作对角线 AC 的平行线.设 P 点运动的时间为 x 秒,这两 条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为 y 厘米,请你回答下列问题: (1)当 x =3 时, y 的值是多少? 2 (2)就下列各种情形: ①0≤ x ≤2;②2≤ x ≤4;③4≤ x ≤6;④6≤ x ≤8.求 y 与 x 之间的函数关系式. (3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下 y 与 x 的关系. 思路点拨 本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、 画图、计算. 注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形 的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题策略. 建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值. 【例 4】 如图,正方形 ABCD 中,有一直径为 BC 的半圆,BC=2cm,现有两点 E、F,分别从点 B、点 A 同时出发,点 E 沿线段 BA 以 1m/秒的速度向点 A 运动,点 F 沿折线 A—D—C 以 2cm/秒的速度向点 C 运动,设点 E 离开点 B 的时间为 2 (秒). (1)当 t 为何值时,线段 EF 与 BC 平行? (2)设 1< t <2,当 t 为何值时,EF 与半圆相切? (3)当 1≤ t <2 时,设 EF 与 AC 相交于点 P,问点 E、F 运动时,点 P 的位置是否发生变化?若发生变化, 请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求 AP:PC 的值. 思路点拨 动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策略,对于(1)、(2), 3 运用相关几何性质建立关于 t 的方程;对于(3),点 P 的位置是否发生变化,只需看 AP 是否为一定值. PC 注:动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律,而把特定的 运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想. 【例 5】 ⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点;如图(1),连结 O2 O1 并延长交⊙O1 于 P 点,连结 PA、PB 并分别 延长交⊙O2 于 C、D 两点,连结 C O2 并延长交⊙O2 于 E 点.已知⊙O2 的半径为 R,设∠CAD=? . (1)求:CD 的长(用含 R、? 的式子表示); (2)试判断 CD 与 PO1 的位置关系,并说明理由; (3)设点 P′为⊙O1 上(⊙O2 外)的动点,连结 P′A、P′B 并分别延长交⊙O2 于 C′、D′,请你探究∠C′AD′是 否等于? ? C′D′与 P′Ol 的位置关系如何?并说明理由. 思路点拨 对于(1)、(2),作⌒出圆中常见辅助线;对于(3),P 点虽为 OOl 上的一个动点,但⊙O1、⊙O2 一些量 (如半径、AB)都是定值或定弧,运用圆的性质,把角与孤联系起来. 4 学力训练 1.如图, Δ ABC 中,∠C=90°,AB=12cm,∠ABC=60°,将Δ ABC 以点 B 为中心顺时针旋转,使点 C 旋转到 AB 延长线上的 D 处,则 AC 边扫过的图形的面积是 cm (π =3.14159…,最后结果保留三个有 效数字).


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