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数字信号处理第二章序时域离散信号和系统的频域分析_图文

发布时间:

§2.5序列的Z变换

2.5.1 Z变换定义

设某序列为x(n),其Z变换定义为

双边Z变换 单边Z变换

?
? X (z) ? x(n)z?n n???
?
? X (z) ? x(n)z?n n?0

(2.6.1) (2.6.2)

1.收敛域定义 ?
对于任意给定的序列x(n),能使 ? X (z) ? x(n)z?n 收敛的所有Z值之集合,即 n???

为X(z)的收敛域(ROC,Region of convergence)

2.收敛条件: X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

?
? x(n)z?n ? ?
n???

(2.6.3)

3. 序列的收敛半径
阿贝尔定理:
?
如果级数 ? x(n)zn 在 z ? Rx? (? 0) n?0
收敛,那么,满足 0≤|z|<Rx+的一切z, 级数必绝对收敛。 Rx+为最大收敛半径。
?
同样级数 ? x(n)z?n 在 z ? Rx? n?0
收敛,那么,满足 Rx? ? z ? ?的一切z
级数必绝对收敛。 Rx-为最小收敛半径。
收敛域一般可用环状域表示,即
Rx? ? Z ? Rx?

j Im[ z]
Rx?
Re[ z]
j Im[ z]
Rx? Re[ z]
j Im[ z]
Re[ z]
Rx? Rx?

收敛半径判定法

1.比值判定法

??
若X (z) ? x(n)zn,则
n?0

Rx?=lni?m?

x(n ?1) x(n)

Rx

为最大收敛半径,
?



0?

z

?

Rx

时级数收敛
?

??
若X (z) ? x(n)z-n,则
n?0

Rx?

? lim n??

x(n ?1) x(n)

Rx?为最小收敛半径, 即 Rx? ? z ? ??时级数收敛

2.根值判定法

?

? 若X (z) ? x(n)zn,则 n?0

Rx?

? lim n n??

x(n)

Rx?为最大收敛半径, 即 0 ? z ? Rx?时级数收敛

?

? 若X (z) ? x(n)z-n,则 n?0

Rx?

? lim n n??

x(n)

Rx?为最小收敛半径, 即 Rx? ? z ? ??时级数收敛

例 2.5.1 x(n) ? u(n),求其z变换。

?

?

? ? 解:X (z) ? u(n)z?n ? z?n

n???

n?0

?

1

1 ? z?1

,

z ?1

2.5.2 与序列特性对收敛域的影响

1. 有限长序列Z变换的收敛域

若序列x(n)满足x(n)

?

? ? ?

x(n), 0,

n1 ? n ? n2 ,该序列为有限长序列 其它

n2
? 其Z变换为:X (z) ? x(n)z?n n ? n1

收敛域为:???nn11

? ?

0, 0,

n2 n2

? ?

0, 0,

0? z ?? 0? z ??

??n1 ? 0, n2 ? 0, 0 ? z ? ?

例2.5.2 求x(n) ? RN (n)的Z变换并确定其收敛域

? 解:X

(z)

?

N ?1
z?n
n?0

?

1? z?N 1? z?1

收敛域为: 0 ? z ? ?

2. 右边序列Z变换的收敛域

?

?1

?

? ? ? X (z) ? x(n)z?n ? x(n)z?n ? x(n)z?n

n?n1

n?n1

n?0

第一项是有限长序列其收敛域为0 ? z ? ?

第二项是因果序列其收敛域为Rx? ? z ? ? 两者相与的X (z)的收敛域为Rx? ? z ? ? 若n1 ? 0, X (z)的收敛域为Rx? ? z ? ?

收敛域

j Im[ z]
Rx?
Re[ z]

例2.5.3 求x(n) ? anu(n)的Z变换并确定其收敛域( a ? 1)

? 解:X

(z)

?

? n?0

anz?n

?

1 1? az?1

收敛域为: az?1 ? 1,

z ?a

3. 左边序列Z变换的收敛域
n2
? X (z) ? x(n)z?n n???1
若n2 ? 0,级数没有负幂项,其收敛域为0 ? z ? Rx? 若n2 ? 0,其收敛域为0 ? z ? Rx? 总之,其收敛域是半径为Rx?的圆内部,是否包括 原点由n2的具体取值而定

j Im(z)

0

Re( z )
Rx+

例2.5.4 求x(n) ? ?anu(?n ?1)的Z变换并确定其收敛域

??

?

?

? ? ? 解:X (z) ? ?an z?n ? ? a?n zn=? (a?1z)n

n??1

n?1

n?1

? ?

?
?a?1z (a?1z)n
n?0

? ?a?1z 1? a?1z

?

1 1? az?1

收敛域为: a?1z ? 1, z ? a

3. 双边序列Z变换及收敛域

?

?1

?

? ? ? X (z) ? x(n)z?n ? x(n)z?n ? x(n)z?n

n???1

n???

n?0

第一项是左边序列其收敛域为0 ? z ? Rx?

第二项是右边序列其收敛域为Rx? ? z ? ?

两个的交集就是的X (z)的收敛域 Rx? ? z ? Rx?

注:若 Rx? ? Rx?,则X (z)不存在。

例2.5.5 求 x(n) ? a n 的Z变换并确定其收敛域 ( a ? 1)

Im(z)

Rx?

Re(z)

Rx?

?

?1

?

?

?

? ? ? ? ? 解:X (z) ? a n z?n ? a?n z?n ? an z?n ? an zn ? an z?n

n???

n???

n?0

n?1

n?0

第一部分收敛域为 az ? 1,

z

?

|

1 a

? | ??,X

(

z)的收敛域为:a

?

z

?

a -1

第二部分收敛域为 az-1 ? 1,

z

?

a

? ?

X

(z)

?

az 1? az

?

1

?

1 az

?1

?

(1 ?

1? a2 az )(1 ?

az ?1 )

总结
? X(z)的收敛域(ROC)为 Z 平面以原点为中心的圆环; ? ROC 内不包含任何极点(以极点为边界); ? 有限长序列的 ROC 为整个平面(可能除去 z=0 和 z=?); ? 右边序列的 ROC 在|z|=Rx-的圆外; ? 左边序列的 ROC 在|z|=Rx+的圆内; ? 双边序列的 ROC 在 Rx-<|z|< Rx+的圆环。

2.5.3、逆Z变换

一.定义: 已知X(z)及其收敛域, 反过来求序列x(n)的变换称作逆Z变换。

记作:x(n) ? Z ?1[ X (z)]

z变换公式:

?
? 正:X (z) ? x(n)z?n , Rx? ? z ? Rx? n???

? 反:x(n) ? 1
2? j

X (z)zn?1dz,
c

c ? (Rx? , Rx? ) (2.5.5)
j Im[z]

C为环形解析域内环绕

原点的一条逆时针闭合 单围线.

0

直接计算围线积分比较麻烦,介绍3种方法

Rx?

Rx?
c

Re[ z ]

留数的概念:
?
? X (z) ? a(n)(z ? zk )n n??? a(?2) a(?1) ? ? (z ? zk )2 ? z ? zk ? a(0) ? a(1)(z ? zk ) ? a(2)(z ? zk )2 ?
称a(-1)为X(z)的留数

1.用留数定理求逆Z变换

j Im[z]

Re s[ X (z)zn?1, zk ]

Rx?

表示极点处的留数。

0

设围线内有N个极点,围线外有M个极点
? x(n) ? 1 X (z)zn?1dz
2? j c

Re[ z ]
Rx?
c

? ? Re s[ X (z)zn?1]z?zk (zk为c内的第k个极点)
k
? ? ? Re s[ X (z)zn?1]z?zm (zm为c外的第m个极点)
m

留数的求法:
(1)当Zr为一阶极点时的留数:

Re s[ X (z)zn?1, zk ] ? (z ? zr ) X (z)zn?1 z?zk
(2) 当Zk为N阶(多重)极点时的留数:

(2.5.7)

Re

s[ X

( z ) z n ?1 ,

zk

]

?

(N

1 ?1)!

d N ?1 dz N ?1

[( z

?

zr

)l

X

( z ) z n?1 ]

z ? zk

(2.5.8)

zk为c内的极点,k=1,2, ???,N1

N1

N2

? ? 因为: Re s[ X (z)zn?1, zk ] ? ? Re s[ X (z)zn?1, zm ]

k ?1

m?1

(2.5.9)

zm为c外的极点,m=1,2, ???,N2

我们可根据计算方便任意选取围线内外的留数进行计算。

例2.5.6

已知X

(z)

?

1

?

1 az ?1

,

z ? a,求其逆Z变换。

解:令

F(z) ?

X

( z ) z n?1

?

z n?1 1? az?1

,即

F(z) ?

zn z?a

当n ? 0时,因为 z ? a,围线c内 F(z)有一个

单阶极点z ? a,围线c外有一个n阶极点z ? ?

Im[z]
1
0 a Re[z]
C

? x(n)
当n ?

1
? Re s[ X (z)zn?1
k ?1
0时,围线c内 F (z

,
)

zk
?

]

?
z

Re s[F(z), a] ? (z ? a)
n
有一个单阶极点z

zn ?a
z?a z?a
? a, 和一个

n

z?a

n 阶极点z ? 0; 围线c外没有极点,故:

x(n) ? ? Re s[F (z), zk ] ? ?? Re s[F (z), zm ] ? 0

k

m

因此:x(n)

?

?an ?

n ? 0 即:x(n) ? anu(n)

?0 n?0

例2.5.6

已知X

(z)

?

(1 ?

1? a2 az )(1 ?

az ?1 )

,

a <1,求其逆Z变换x(n)。

解:F (z)

?

X

( z ) z n ?1

?

(1? a2 )zn?1 (1? az)(1? az?1)

?

(1? a2 )zn ?a(z ? a)(z ?

a ?1 )

由于本题没给收敛域,必须考虑所有情况 Im[z]
(1) 收敛域 z ? a?1 , n ? 0,围线外?处有n阶极点,

围线内有两个单阶极点 z1 ? a, z2 ? a?1
2
x(n) ? ? Re s[F(z), zk ] k ?1

Re[z]
0 a a?1
c

?

(1? a2 )zn ?a(z ? a)(z ?

a ?1 )

(z

?

a)

z?a

?

(1? a2 )zn ?a(z ? a)(z ?

a ?1 )

(z

?

a ?1 )

z ? a?1

? an ? a?n (n ? 0)

即:x(n) ? (an ? a?n )u(n)

F(z)

?

(1? a2 )zn ?a(z ? a)(z ?

a ?1 )

(2) 收敛域 z ? a

围线外有两个单阶极点 z2 ? a, z3 ? a?1, 当n ? 0时,围线内一个n阶极点为z1 ? 0,

Im[z]

Re[z]

0a
c

a ?1

x(n) ? Re s[F (z), z1]

3
? -? Re s[F (z), zk ] k ?2

? ? (1? a2 )zn (z ? a) ? (1? a2 )zn (z ? a?1)

?a(z ? a)(z ? a?1)

z?a ?a(z ? a)(z ? a?1)

z ?a?1

? ?an ? a?n (n ? 0)

即:x(n) ? (a?n ? an )u(?n ?1)

F(z)

?

(1? a2 )zn ?a(z ? a)(z ?

a ?1 )

Im[z]

(3) 收敛域 a ? z ? a?1
当n ? 0时, 围线内有n阶极点z1 ? 0、单阶极点z2 ? a 围线外有一个单阶极点 z3 ? a?1,

0a
c

Re[z]
a ?1

x(n) ? -Re s[F (z), a?1] ? ? (1? a2 )zn (z ? a?1) ? a?n (n ? 0)

?a(z ? a)(z ? a?1)

z ? a ?1

当n ? 0时,围线内有单阶极点z2 ? a

x(n)

?

Re

s[ F ( z),

a]

?

(1? a2 )zn ?a(z ? a)(z ?

a?1)

(z

?

a)

z?a

?

an

(n ? 0)

因此:x(n)

?

?an ??a?n

n?0 n?0

2.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数,即
?
? X (z) ? x(n)z?n ? ? x(?2)z2 ? x(?1)z ? n???
x(0)z0 ? x(1)z?1 ? x(2)z?2 ?
所以在给定的收敛域内,把X(z)展为幂级数,其系数 就是序列x(n)。
如收敛域为|z|>Rx+, x(n)为因果序列,则X(z)展成
Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列,主要展成
Z的正幂级数。

例2.5.8

已知X

(z)

?

1

?

1 az ?1

,

z ? a,用长除法求其逆Z变换x(n)。

解:

1? az?1 ? a2 z?2 ?

1? az?1 1

1? az?1 az ?1 az?1 ? a2 z?2 a2 z?2

Im[z]
1
0 a Re[z]
C

即:X (z) ? 1? az?1 ? a2 z?2 ?
因此: x(n) ? anu(n)

?

?

? ? ? an z?n ? x(n)z?n

n?0

n?0

例2.5.9 已知X
解:

(

z

)

?

1

?

1 az

?1

,

z ? a,求其逆Z变换x(n)。
Im[z]

1

a?1z

X (z) ? 1? az?1 ? ? 1? a?1z

? ?

?a?1

z

1

?

1 a?1

z

?

?
?a?1z
n?0

(a?1z)n

1
0 a Re[z]
C

?1
? ? ?(a?1z ? a?2 z2 ? ) ? an z?n n???

因此: x(n) ? ?anu(?n ?1)

3.部分分式法
? 通常,X(z)可表成有
理分式形式:
? 可以展成以下部分分式形式

X

(z)

?

B(z) A(z)

?

M
bi z?i
i?0
N
1? ai z?i

? X

(z)

?

A0

?

N m?1

Am z z ? zm

i ?1
(2.5.11)

确定了A0、Am即完成了部分分式展开。

? 为此将2.5.11式变形: X (z) ? A0 ? N Am

z

z m?1 z ? zm

(2.5.12)

实际上A0 ,Am为函数

X

(z) z

在单阶极点z

?

0、z

?

zm的留数

? ??

A0

?

Re s[

X (z) z

, 0]

?

? ??

Am

?

Re s[

X (z) z

,

zm ]

(2.5.13) (2.5.14)

分别求出各部分分式 的z反变换(可查P51 表2.5.1),然后相加 即得X(z)的z反变换。

例:利用部分分式法,求

X

(z)

?

(1?

1 2 z ?1 )(1 ?

0.5z?1) ,z

?2

的反变换。

解:

X

(z)

?

(1 ?

1 2 z ?1 )(1 ?

0.5 z ?1 )

?

(z

?

z2 2)( z

?

0.5)

X (z) ?

z

? A1 ? A2

z (z ? 2)(z ? 0.5) z ? 2 z ? 0.5

A1

? [( z

? 2)

X (z) z ]z?2

?

4 3

A2

? [( z ? 0.5)

X (z)

z

]z ?0.5

?

?1 3

? X (z) ? 4 ? z ? 1 ? z 3 z ? 2 3 z ? 0.5

又 z ? 2, 查p51表2.5.1得

即:

x(n)

?

? ? ?

4 3

?

2n

?

1 3

?

(0.5)n

,

n

?

0

??0 , n ? 0

x(n) ? 4 ? 2n u(n) ? 1 ? (0.5)n u(n)

3

3

§2-4 Z变换的基本性质和定理
1.线性 如果 X (z) ? ZT[x(n)], Rx? ? z ? Rx? 则有: Y (z) ? ZT[ y(n)], Ry? ? z ? Ry?
Z[ax(n) ? by(n)] ? aX (z) ? bY (z), Rm? ? z ? Rm?, (2.5.15) Rm? ? max(Rx? , Ry? ) Rm? ? min(Rx? , Ry? )
*即满足均匀性与叠加性; *收敛域为两者重叠部分。

2. 序列的移位

如果:ZT[x(n)] ? X (z),

Rx? ? z ? Rx?

则:ZT[x(n ? n0 )] ? z?n0 X (z) ; Rx? ? z ? Rx? ,

3.乘以指数序列 (Z域尺度变换)

(2.5.16)

设:X (z) ? ZT[x(n)], y(n) ? anx(n)

Rx? ? z ? Rx? a为常数

则:Y (z) ? ZT[anx(n)] ? X ( z ); a

a Rx? ? z ? a Rx?, (2.5.17)

? ? 证明: Y (z) ? ? an x(n)z?n ? ? x(n)(a?1z)?n ? X (a?1z)

n???

n???

Rx? ?

z a

? Rx? ; 即

a Rx? ? z ? a Rx?

4. 序列乘以n (Z域求导数)

设:X (z) ? ZT[x(n)],

Rx? ? z ? Rx?

则:ZT[nx(n)] ? ?z d X (z), dz

Rx? ? z ? Rx? ,

(2.5.18)

?
? 证明: X ( z) ? x(n) z ?n , 对其两端求导得 n ? ??

? ? dX ( z) ? d [ ? x(n) z ?n ] ? ? x(n) d ( z ?n )

dz

dz n???

n ? ??

dz

?

?

? ? ?

? nx(n) z ?n?1 ? ? z ?1 nx(n) z ?n

n ? ??

n ? ??

即,Z[nx(n)] ? ? z dX ( z) dz

5.复序列取共轭

设:X (z) ? ZT[x(n)], Rx? ? z ? Rx?

则:X *(z*) ? ZT[x*(n)], Rx? ? z ? Rx? , (2.5.19)

?

?

? ? 证明:ZT[x*(n)] ? x*(n)z?n ? [x(n)(z*)?n ]*

n???

n???

?
? ? [ x(n)(z*)?n ]* ?X *(z*) n???

6. 初值定理

设x(n)是因果序列,X (z) ? ZT[x(n)],



x(0) ? lim X (z), (2.5.20)

z??

?
? 证明: X (z) ? x(n)z?n ? x(0) ? x(1)z?1 ? x(2)z?2 ?

n?0

显然, lim X (z) ? x(0) z??

7. 终值定理

若x(n)是因果序列,且X (z) ? Z[x(n)]的极点在单位圆内,

且只允许单位圆上z ? 1处有一阶极点,则有

lim
n??

x(n)

?

lim[(
z ?1

z

?1)

X

( z )]

?

Re

s[

X

(

z )]z ?1

(2.5.21)

? 证明:(z ?1) X (z) ? ? [x(n ?1) ? x(n)]z?n,由于x(n) ? 0, n ? 0

n???

n

n

? ? (z ?1) X (z) ? lim[ x(m ?1)z?m ? x(m)z?m ]

n?? m??1

m??0

由于(z ?1) X (z)在单位圆上无极点,上式两端对z ? 1取极限:

n

n

lim(z ?1) X (z) ? lim[ ? x(m ?1) ? ? x(m)]

z ?1

n?? m??1

m??0

? lim[x(0) ? x(1) ? ? x(n ?1) ? x(0) ? x(1) ? n??

? lim[x(n ?1)] ? lim x(n)

n??

n??

?lim(z ?1) X (z) ? lim x(n)

z ?1

n??

? x(n)]

8.序列的卷积 (时域卷积定理)

?
如果w(n) ? x(n) ? y(n) ? ? x(m)y(n ? m) m???

而且X (z) ? ZT[x(n)] , Rx? ? z ? Rx?; Y (z) ? ZT[ y(n)] , Ry? ? z ? Ry?

则有:W (z) ? ZT[w(n)] ? X (z)Y (z), Rw? ? z ? Rw? , (2.5.23)

Rw? ? max[Rx? , Rh? ]

Rw? ? min[Rx? , Rh? ]

?

?

证: W (z) ? ZT[x(n) ? y(n)] ? ? [ ? x(m)y(n ? m)]z?n

n??? m???

?

?

? ? x(m)[ ? y(n ? m)z?n ]

m???

n???

?

?

? ? ?

x(m)[ y(l)z ?l ]z ?m

m ? ??

l ???

(令n ? m ? l)

?
? ? [ x(m)z?m ]Y (z) ? X (z)Y (z) 其收敛域就是X(z)和

m???

Y(z)的公共收敛域

例2.5.11 已知系统h(n) ? anu(n),a ?1, 输入x(n) ? u(n),求输出y(n)

?
解(1):y(n) ? x(n) ? h(n) ? ? h(m)x(n ? m)

m???

?

n

? ? amu(m)u(n ? m) ? ? am , n ? 0

解(2):

m?0

m?0

H

(z)

?

ZT[h(n)]

?

ZT[a nu (n)]

?

1?

1 az ?1

,

z?a

X

(z)

?

ZT[ x(n)]

?

ZT[u(n)]

?

1 1 ? z ?1

,

Y (z)

?

X

(z)H (z)

?

(1 ?

1 z?1)(1 ? az?1)

,

z ?1 z ?1

由收敛域判定y(n)为右边序列,得:

y(n) ? Z ?1[Y (z)] ? RES[Y (z)z n?1,1]

? RES[Y ( z) z n?1, a] ? 1 ? an?1 u(n) 1? a

9. 复卷积定理

如果 X (z) ? ZT[x(n)], Rx? ? z ? Rx?; Y (z) ? ZT[h(n)], Ry? ? z ? Ry?,

w(n) ? x(n) ? y(n)

? 则:W (z) ? 1
2? j

X (v)Y ( z )v?1dv;

c

v

Rx?Ry? ? z ? Rx?Ry? , (2.5.24)

? 证: W (z) ? ZT[x(n)h(n)] ? ? x(n) y(n)z?n

n???

? ? ? 1
?[

X (v)? n?1dv]y(n)z?n

n??? 2? j c

? ? ? ? 1

?
X (v)

y(n)( z )?n dv ?

1

X (v)Y ( z ) dv

2? j c

n???

v v 2? j c

vv

收敛域证明自己阅读

12.帕塞瓦定理(parseval)

如果 X (z) ? ZT[x(n)], Rx? ? z ? Rx?;

Y (z) ? ZT[ y(n)], Ry? ? z ? Ry?;



Rx? Rn? ? 1 ? Rx? Rn?.

? ? 则有: ? x(n) y?(n) ? 1

n???

2? j

c

x(?

)Y

*

1

(
?

?

)?

?1d?

max(Rx? ,

1 Ry?

)

?

v

?

max(Rx? ,

1 Ry?

)

(2.5.27)

其中“*”表示复共轭,闭合积分围线C在公共收敛域内。 (证明从略)

*几点说明:

1.当y(n)为实序列时,则

? ? ? x(n) y(n) ? 1

x(? )Y ( 1 )? ?1d?

n ? ??

2? j c

?

2.当围线取单位圆 v ? 1时, v ? 1/ v? ? e j? ,则

? ? ? x(n) y?(n) ? 1 ? X (e j? ) y?(e j? )d?

n???

2? ??

? ? ?
3.当y(n) ? x(n)时,则

x(n) 2 ? 1

?
X ( j?) 2d? (2.5.28)

n???

2? ??

这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞尔公式(定理)。

2.5.5 利用Z变换解差分方程的关系

线性移不变系统常用差分方程表示:

N

M

? ak y(n ? k ) ? ? bm x(n ? m)

(2.5.30)

k ?0

m?0

1.求稳态解(输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的)

N

M

? ? 对2.5.30式取z变换得: ak z ?kY ( z) ? bm z ?m X (z)

k ?0

m?0

M

? bm z ?m

有:Y ( z)

?

m?0 N

X ( z),

? ak z ?k

k ?0

写成:Y ( z) ? H ( z) X ( z) (2.5.31)

M

? bm z ?m

式中:H ( z)

?

m?0 N

? ak z ?k

k ?0

(2.5.32)
则:y(n) ? Z-1T[Y (z)]

2.求暂态解(已知N个初始条件求N阶解差分方程)

设输入为因果序列下x(n),已知初始条件y(-1),y(-2),…y(N-1)

考虑单边Z变换:
?
? ZT[ y(n ? m)u(n)] ? y(n ? m)z ?n n?0

?n? ?m? ?k ?

?

?

?1

? ? ? ? z?m

y(k )z?k ? z?m[ y(k )z?k ?

y(k )z?k ]

k ??m

k ?0

k ??m

?1

? ? z?m[Y (z) ?

y(k)z?k ]

k ??m

(2.5.33)

按照2.5.33式对2.5.30式进行单边Z变换:

N

?1

M

? ? ? ak z ?k [Y (z) ?

z ?lY (l )] ? bm z ?m X ( z)

k ?0

l ??k

m?0

M

N

?1

? bm z ?m

? ? ak z ?k

z ?lY (l )

Y (z)

?

m?0 N

X (z) ? k?0

l ?? k N

? ak z ?k

? ak z ?k

k ?0

k ?0

上式第一项为零状态解,第二项为零输入解。

(2.5.34)

例2.5.13 已知差分方程y(n) ? by(n ?1) ? x(n), 式中x(n) ? anu(n), y(?1) ? 2, 求y(n)

解:将差分方程进行Z变换

Y (z) ? bz?1Y (z) ? by(?1) ? X (Z ),

Y (z) ? by(?1) ? X (Z ) ? 2b ? X (Z )

1 ? bz ?1

1 ? bz ?1

式中:X

(z)

?

1?

1 az ?1

,

z ? 1, 故

Y (z)

?

2b 1 ? bz ?1

?

(1 ?

1 az ?1 )(1 ? bz ?1 )

z ? max( a , b )

y(n) ? 2bn?1 ? 1 (an?1-bn?1), n ? 0 a ?b

式中第一项为零输入解,第二项为零状态解。

2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性

2.6.1 传输函数与系统函数

1. 系统的传输函数(频率响应函数)

?

? 定义:H (e j? ) ? h(n)e? j?n

(2.6.1)

n???

为系统的传输函数。它表征了系统的频率特性。

2. 系统函数

N

M

设系统用差分方程表示: ? ak y(n ? k ) ? ? bm x(n ? m)

k ?0

m?0

? ? 两边做Z变换:

N

M

Y ( z) ak z ?k ? X ( z) bm z ?m

k ?0

m?0

M

?? 定义:H (z) ?

Y (z) X (z)

?

bm z?m
m?0
N
ak z?k

k ?0

(2.6.2) ,为系统的系统函数。

?
? 系统函数又可表述为:H (z) ? h(n)z?n n???
3.传输函数与系统函数的关系:
若H (z)的收敛域包含单位圆 z ?1,有:

H (e j? ) ? H (z) z?ej?

(2.6.3)

系统函数H(z)在z平面单位圆上的取值即为系 统的传输函数

2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
?
? 系统函数又可表述为:H (z) ? h(n)z?n n??? z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值确定。 如单位圆上收敛,即|z|=1,此时则有∑|h(n)|<∞ ,即系统稳 定;也就是说,收敛域包括单位圆的系统是稳定的。
系统稳定的充要条件是H(z)的收敛域必须包含单位圆。
因此,如果系统函数H(z)的收敛域包括单位圆,则系统 是稳定的。反之,如果系统稳定,则系统函数H(z)的收 敛域一定也包括单位圆。
因果系统的收敛域必须包括∞点,因此
若系统函数H(z)的收敛域满足:r ? z ? ?, 0 ? r ?1
系统是因果稳定的。
换句话说,因果稳定系统的全部极点必须在单位圆内。

2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性

将H(z)进行因式分解

M

M

? ? bmz?m

(1? cr z?1)

H (z)

?

m?0 N

?

A

r ?1 N

? ? ak z?k

(1? dr z?1)

k ?0

r ?1

(2.6.4)

式中 cr, dr为系统的零、极点,它们的分布将影响系统的频率特性

2.6.4式可化为:

M

?(z ? cr )

H (z) ? AzN?M

r ?1 N

?(z ? dr)

r ?1

(2.6.5)

令z ? e j?带入2.6.5式,的传输函数

M

? (e j? ? cr )

H (e j? ) ? Ae j(N ?M )?

r ?1 N

? (e j? ? dr )

r ?1

(2.6.6)
jIm[z]

简单起见,令N=M,得

dr

?r

dr B

B

M
? (e j? ? cr )

?r cr B
cr

Re[z]

H (e j? ) ?

A

r ?1 N

? (e j? ? dr )

(2.6.7)

r ?1

cr B ? e j? ? cr ? cr Be j?r cr B零点向量,由零点cr指向单位圆上e j?点B的向量;

dr B ? e j? ? d r ? dr Be j?r dr B极点向量,由极点dr指向单位圆上e j?点B的向量;

带入式2.6.7得:

N

? cr B

H (e j? )

?

A

r ?1 N

,

? dr B

r ?1

N

N

?(?) ? ??r ? ? ?r ,

讨论:

r ?1

r ?1

(2.6.8) (2.6.9)

(1) 当频率ω 从零变到2π 时,这些向量 的终点B沿单位圆逆时针旋转一周

(2) 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点 的位置与深度有明显影响,当零点位于单位 圆上时,谷点为零。零点可在单位圆外。

(3)单位圆附近的极点对幅度响应的峰点 位置和高度有明显影响。极点在圆外,系统 不稳定。

jIm[z]

dr

?r

dr B

B

?r cr B
cr

Re[z]

H (e j? )

?(?) ? ?

2? ? 2? ?

自己阅读P61-63:例2.6.2,2.6.3,2.6.4,2.6.5
作业: 第14题,(1),(3),(6) 第18题 第23题 第24题



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